第六章
量化计算实例
6.1 电路与参数
以同相比例放大电路为例，要求输出精度在 $\pm 1\%_0$（±1‰）以内。
参数符号值说明
开环增益$A$待求运放开环放大倍数
反馈系数$F$$1/2$$F = R_3/(R_2+R_3)$，$R_2 = R_3 = 10\,\mathrm{k\Omega}$
理想增益$1/F$$2$放大 2 倍
允许误差$\delta$$0.001$±1‰
由式 (4)，精确闭环增益为 $A/(1+AF)$；由虚短虚断估算为 $1/F = 2$。两者之比由式 (9) 给出：
$$\frac{G'}{G} = 1 + \frac{1}{AF}$$
6.2 误差约束求解
要求 $G'/G$ 落在 $[0.999,\; 1.001]$ 区间内。由于 $G'/G = 1 + 1/(AF) > 1$，下界自动满足，只需：
$$1 + \frac{1}{AF} < 1.001$$
$$\frac{1}{AF} < 0.001$$
$$AF > 1000$$
代入 $F = 1/2$：
$$A > \frac{1000}{F} = \frac{1000}{0.5} = 2000$$
转换为分贝：
$$20\log_{10}(A) = 20\log_{10}(2000) = 20\big(\log_{10} 2 + \log_{10} 1000\big) = 20 \times (0.3 + 3) = 66\,\mathrm{dB}$$
结论：当运放开环增益 $A > 2000$（即 $> 66\,\mathrm{dB}$）时，该电路按虚短虚断分析带来的误差不超过 ±1‰。如果 $A < 66\,\mathrm{dB}$，则不能按虚短虚断考虑。
6.3 交互式探索
下面的交互工具可以直观感受开环增益 $A$ 对闭环增益误差的影响。拖动滑块改变 $A$（以 dB 为单位），观察误差曲线和判据是否满足。
开环增益 A = 66 dB（线性值 A = 2000）
反馈系数 F
0.5
理想增益 1/F
2.000000
实际增益 A/(1+AF)
1.999000
相对误差 1/(AF)
0.0500%
环路增益 AF
1000
±1‰ 判据
满足
图 6-1 相对误差随开环增益变化曲线（对数纵轴），红虚线为 ±1‰ 阈值
6.4 频率特性的影响
上述分析默认 $A$ 是一个常数，但实际运放的开环增益是频率的函数。运放内部补偿产生一个主极点，开环增益以 −20 dB/decade 的速率滚降：
$$A(f) = \frac{A_0}{1 + j \cdot f / f_p}$$
其中 $A_0$ 是直流开环增益，$f_p$ 是主极点频率。增益带宽积（GBW）为常数：
$$\mathrm{GBW} = A_0 \times f_p = A(f) \times f$$
注意：高频时 $A(f)$ 下降，$AF$ 可能不再满足 $> 1/\delta$ 的条件。例如 GBW = 1 MHz 的运放，在 100 kHz 处 $A \approx 10$（20 dB），若 $F = 0.5$ 则 $AF = 5$，远不满足 ±1‰ 需要的 $AF > 1000$。高频段是虚短虚断失效的重灾区。
下表列出了 GBW = 1 MHz 的运放在不同频率下的开环增益与虚短虚断适用性（$F = 0.5$，要求 ±1‰）：
频率开环增益 $A(f)$$A$ (dB)$AF$是否满足 ±1‰
DC ~ 10 Hz100,000100 dB50,000满足
1 kHz1,00060 dB500不满足
10 kHz10040 dB50不满足
100 kHz1020 dB5严重不满足
设计建议：选型时不仅要看直流开环增益，还要确认在信号带宽最高处 $A(f)$ 仍满足 $A(f) \cdot F > 1/\delta$。对于宽带精密测量（如 30 kHz 带宽 pA 级检测），应优先选择 GBW 足够大的运放（如 ADA4625-1，GBW = 18 MHz），在信号带宽内留足增益裕量。